欧拉函数用符号φ表示,φ(n)表示小于等于n的正整数数中与n互质的数的个数
φ(1)=1 ; 1
φ(2)=1 ; 1
φ(3)=2 ; 1,2
φ(4)=2 ; 1,3
φ(5)=5 ; 1,2,3,4
φ(6)=2 ; 1,5
φ(7)=6 ; 1,2,3,4,5,6
φ(8)=4 ; 1,3,5,7
…………………………
其中当n为素数时,φ(n)=n-1; 然后再将这个问题推广到一般性——1.怎么求任意的φ(n)。2.怎么求n以内所有的φ(n)
1.对于任意的n,φ(n)=n x (1-p1) x (1-p2) x (1-p3) …………(1-pm)
其中p1,p2,p3……pm是n能分解出来的素因子。为了编程实现,只需要将该公式简单变形
φ(n)=n x [(p1-1)/p1] x [(p2-1)/p2] x [(p3-1)/p3] …………[(pm-1)/pm]
用文字来描述就是 “找到每一个n能分解出来的素因子pi,然后除以pi再乘以(pi-1)”
#include#include int main(){ int n,m,ans; while(scanf("%d",&n)!=EOF && n) { ans=n; m=(int)sqrt(n+0.5); for(int i=2; i<=m; i++) //枚举因子 if(!(n%i)) //可分解出这个因子 { ans=ans/i*(i-1); while(!(n%i)) n/=i; //除干净这个因子 } if(n>1) ans=ans/n*(n-1); //剩下的这个n一定是一个素数,其实就是最后一个素因子 printf("%d\n",ans); } return 0;}
2.有时候我们需要知道n以内所有数字的欧拉函数,那么一个直观的方法就是对这n个数一次运行上面的代码就额可以求出,但是这不是最好的方法,最好的方法是筛法,和筛素数无论是思想还是代码上都很像
我们知道要求一个数n的φ(n)是要找出它所包含的所有的素因子的,那么我们可以用一种逆思维,先枚举所有的素数,然后看哪些数字的因子中包含这个素数,然后我们再“除以这个素数p再乘以(p-1)”
#include#include #include #define N 10000010int phi[N];int main(){ int n=100000; //算出100000以内所有数字的欧拉函数值 memset(phi,0,sizeof(phi)); phi[1]=1; for(int i=2; i<=n; i++) if(!phi[i]) //i是一个素因子 for(int j=i; j<=n; j+=i) //j表示i的倍数 { if(!phi[j]) phi[j]=j; phi[j]=phi[j]/i*(i-1); }/* for(int i=1; i<=10; i++) printf("%d %d\n",i,phi[i]);*/ return 0;}